Jika sisa pembagian suku banyak f(x) dengan x, x-1, dan x+2 berturut turut adalah 2,3, dan 4, maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh x³+x²-2x adalah

Kategori: MATEMATIKA - Polinomial
Kelas: XI
============================

Oleh karena sisa pembagian suku banyak f(x) oleh x adalah 2, maka f(0) = 2.

Oleh karena sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x - 1) adalah 3, maka f(1) = 3.

Oleh karena sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, maka f(-2) = 4.

Berdasarkan uraian di atas, kita peroleh hasil sebagai berikut:
(i) f(0) = 2
(ii) f(1) = 3
(iii) f(-2) = 4

Selanjutnya, karena (x³ + x² - 2x) berderajat tiga, maka sisa hasil pembagian f(x) oleh (x³ + x² - 2x) berderajat dua.

Nah, jika kita misalkan hasil pembagian f(x) oleh (x³ + x² - 2x) adalah H(x) dan sisa hasil pembagiannya adalah S(x), maka f(x) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut: 

f(x) = (x³ + x² - 2x) H(x) + S(x)
f(x) = (x³ + x² - 2x) H(x) + ax² + bx + c 
f(x) = x(x² + x - 2) H(x) + ax² + bx + c
f(x) = x(x - 1)(x + 2) H(x) + ax² + bx + c ... (*)

dimana a, b, dan c adalah konstanta.


Langkah pertama: perhatikan poin (i) dan persamaan (*)
------------------------

Jika kita subtitusikan x = 0 ke persamaan (*), maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

f(x) = x(x - 1)(x + 2) H(x) + ax² + bx + c
f(0) = 0(0 - 1)(0 + 2) H(0) + a(0²) + b(0) + c
f(0) = 0 + c
f(0) = c

Nah, berdasarkan poin (i), f(0) = 2.

Dengan demikian, c = 2.


Langkah kedua: perhatikan poin (ii) dan persamaan (*)
------------------------

Jika kita subtitusikan x = 1 ke persamaan (*), maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

f(x) = x(x - 1)(x + 2) H(x) + ax² + bx + c
f(1) = 1(1 - 1)(1 + 2) H(1) + a(1²) + b(1) + c
f(1) = 0 + a + b + c
f(1) = a + b + c

Nah, karena berdasarkan poin (ii), f(1) = 3 dan berdasarkan hasil pada langkah pertama c = 2, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

f(1) = a + b + c
3    = a + b + 2
1    = a + b
a + b = 1

Langkah ketiga: perhatikan poin (iii) dan persamaan (*)
------------------------

Jika kita subtitusikan x = -2 ke persamaan (*), maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

f(x) = x(x - 1)(x + 2) H(x) + ax² + bx + c
f(-2) = -2(-2 - 1)(-2 + 2) H(-2) + a(-2)² + b(-2) + c
f(-2) = 0 + 4a -2b + c
f(-2) = 4a - 2b + c

Nah, karena berdasarkan poin (iii), f(-2) = 4 dan berdasarkan hasil pada langkah pertama c = 2, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

f(-2) = 4a - 2b + c
4     = 4a - 2b + 2
2     = 4a - 2b
1     = 2a - b 
2a - b = 1


Langkah keempat: menentukan nilai a dan b
------------------------

Dari langkah pertama dan kedua, kita peroleh dua persamaan linear berikut:
(iv) a + b = 1
(v) 2a - b = 1

Nah, jika kamu gunakan metode eliminasi dan subtitusi, maka akan diperoleh a = 2/3 dan b = 1/3.

Dengan demikian, hasil pembagian f(x) oleh (x³ + x² - 2x) adalah

S(x) = ax² + bx + c = 2/3x² + 1/3x + 2.


Semoga membantu :)