Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = -2 dan U7 = 7. Maka jumlah 50 suku pertama adalah ?

Kategori Soal : Matematika - Barisan dan Deret
Kelas : XII (3 SMA)
Pembahasan :
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan selalu tetap atau konstan.
Bentuk umum barisan aritmetika adalah
U₁, U₂, U₃, ..., Un atau a, a + b, a + 2b, ..., a + (n - 1)b
Suku ke-n dari barisan aritmetika, yaitu : Un = a + (n - 1)b.
Beda atau selisih antara dua suku berurutan, yaitu : 
b = Un - U(n - 1)
Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika.
Bentuk umum deret aritmetika adalah
Sn = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U(n - 1) + Un
⇔ Sn = a + a + b + a + 2b + ... + a + (n - 1)b
⇔ Sn = n/2(2a + (n - 1)b)
⇔ Sn = n/2(a + a + (n - 1)b)
⇔ Sn = n/2(a + Un)
S(n - 1) = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U(n - 1)
Sn - S(n - 1) = Un.

Mari kita lihat soal tersebut.
Diketahui deret aritmetika dengan
U₃ = -2
⇔ a + 2b = -2 ... (1)
U₇ = 7
⇔ a + 6b = 7 ... (2)
Persamaan (1) dan (2) membentuk sistem persamaan linear dengan dua variabel. Kita selesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi untuk mencari nilai a dan b.
Kita eliminasi a, diperoleh
a + 2b = -2
a + 6b = 7
_________-
⇔ -4b = -9
⇔ b = 9/4
Kita substitusikan b ke persamaan (1) diperoleh
a + 2(9/4) = -2
⇔ a + 9/2 = -2
⇔ a = -2 - 9/2
⇔ a = -4/2 - 9/2
⇔ a = -13/2

Kemudian,
S₅₀ = 50/2.{2.(-13/2) + (50 - 1).9/4}
⇔ S₅₀ = 25.{-13 + 49.9/4}
⇔ S₅₀ = 25.{-13 + 441/4}
⇔ S₅₀ = 25.{(-52 + 441)/4}
⇔ S₅₀ = 25.{389/4}
⇔ S₅₀ = 9725/4

Semangat!