Misalkan f(x)=(x-3)³+(x-2)²+(x-1). Maka sisa pembagian f(x+2) oleh x²-1 adalah

Kategori: MATEMATIKA - Polinomial
Kelas: XI
============================

Oleh karena f(x) = (x - 3)³ + (x - 2)² + (x - 1), maka

f(x + 2) = ((x + 2) - 3)³ + ((x + 2) - 2)² + ((x + 2) - 1)
            = (x + 2 - 3)³ + (x + 2 - 1)² + (x + 2 - 1)
            = (x - 1)³ + x² + (x + 1)
            = (x³ - 3x² + 3x - 1) + x² + x + 1
            = x³ - 3x² + 3x - 1 + x² + x + 1
            = x³ + (- 3x² + x²) + (3x + x) + (-1 + 1)
            = x³ - 2x² + 4x                                       ... (*)

Oleh karena (x² - 1) berderajat dua, maka sisa hasil pembagian f(x + 2) oleh (x² - 1) berderajat satu.

Selanjutnya, jika dimisalkan hasil pembagian f(x + 2) oleh (x² - 1) adalah H(x) dan sisa pembagiannya adalah S(x), maka f(x + 2) dapat dinyatakan sebagai berikut:

f(x + 2) = (x² - 1)H(x) + S(x)
            = (x² - 1)H(x) + (ax + b)
            = (x - 1)(x + 1)H(x) + (ax + b)  ... (**)

dimana a dan b adalah konstanta real.             


Langkah pertama: 
------------------------

Oleh karena (x - 1) adalah salah satu faktor pembagi dari f(x + 2), maka kamu perlu mensubtitusikan x - 1 = 0 atau x = 1 ke persamaan (**) dan (*). 

Berdasarkan persamaan (**), jika x = 1, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

f(x + 2) = (x - 1)(x + 1)H(x) + (ax + b)
f(1 + 2) = (1 - 1)(1 + 1)H(1) + (a(1) + b)
f(3) = 0(2)H(1) + a + b
f(3) = 0 + a + b
f(3) = a + b ... (i)

Berdasarkan persamaan (*), jika x = 1, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

f(x + 2) = x³ - 2x² + 4x
f(1 + 2) = 1³ - 2(1)² + 4(1)
f(3)       = 1 - 2 + 4
f(3)       = 3 ... (ii)

Berdasarkan poin (i) dan (ii) di atas, dapat disimpulkan bahwa a + b = 3 ... (iii).


Langkah kedua: 
------------------------

Oleh karena (x + 1) adalah salah satu faktor pembagi dari f(x + 2), maka kamu perlu mensubtitusikan x + 1 = 0 atau x = -1 ke persamaan (**) dan (*). 

Berdasarkan persamaan (**), jika x = -1, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

f(-1 + 2) = (x - 1)(x + 1)H(x) + (ax + b)
f(-1 + 2) = (-1 - 1)(-1 + 1)H(-1) + (a(-1) + b)
f(1) = -2(0)H(-1) - a + b
f(1) = 0 - a + b
f(1) = -a + b ... (iv)

Berdasarkan persamaan (*), jika x = -1, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

f(x + 2) = x³ - 2x² + 4x
f(-1 + 2) = (-1)³ - 2(-1)² + 4(-1)
f(1)       = -1 - 2 - 4
f(1)       = -7 ... (v)

Berdasarkan poin (iv) dan (v) di atas, dapat disimpulkan bahwa -a + b = -7 ... (vi).

Langkah ketiga:
---------------------

Berdasarkan poin (iv) dan (vi), diperoleh dua persamaan linear sebagai berikut:

(iv) a + b = 3
(v) -a + b = -7

Nah, jika kamu gunakan metode eliminasi dan subtitusi, maka akan diperoleh a = 5 dan b = -2.

Dengan demikian, hasil pembagian f(x + 2) oleh (x² - 1) adalah 
S(x) = ax + b = 5x - 2


Semoga membantu :)